Qualche sera fa, seguendo lo spoglio dei risultati del ballottaggio cileno, dopo circa un 15% dei seggi scrutinati, ho ascoltato Gonzalo de la Carrera, deputato di un partito che aveva appoggiato il candidato sconfitto, dichiarare di riconoscere l’irreversibilità del risultato “perché la matematica non mente”.
Questa affermazione vale per qualsiasi utilizzo della matematica e quindi, naturalmente, anche quando la si usi per analizzare l’attuale situazione della pandemia in Italia. Invero la matematica dice molte cose al riguardo, e in questa nota, ma ci ripromettiamo di analizzare altri problemi nei prossimi giorni, ci limiteremo a discutere l’evoluzione dei contagi e che cosa ci possiamo aspettare per Natale e Capodanno.
I contagi stanno aumentando in modo esponenziale.
Questo non significa, grazie a un teorema elementare di matematica, il Teorema di Taylor – Mac Laurin, che chi afferma che la crescita è lineare, come da circa due mesi va affermando il professor Pregliasco, dica qualcosa di totalmente inesatto. Tuttavia, viene alimentata l’idea che la linearità della crescita dei contagi non attinga i vertici preoccupanti di una loro esponenzialità, (intervista del 17 novembre), anche se in una successiva intervista del 22 novembre, si parla di linearità e progressività, il che, pur senza la chiarezza delle conseguenze del teorema menzionato, in certa misura, pare riscoprirle.
Secondo tale teorema e la formula di sviluppo che da esso discende, un’esponenziale si può rappresentare molto bene con una funzione lineare. Per valori degli esponenti tipici per rappresentare l’evoluzione dei contagi, su periodi corti, la differenza è minima e una crescita esponenziale non è praticamente distinguibile da una lineare. Ovviamente, se si estrapola questo risultato a periodi più lunghi le previsioni cambiano drasticamente. E in particolare può accadere che la retta con cui si rappresentano i dati muti la sua pendenza. Si ottiene così una linearità limitata nel tempo che poi si modifica in altra linearità, anch’essa limitata nel tempo, senza però che si possa affermare che il fenomeno sia descritto linearmente nell’intero periodo.
Che cosa questo comporti, lo mostra chiaramente la considerazione della situazione italiana dei contagi in quattro date in cui, il professor Pregliasco ha rilevato, in alcune interviste disponibili sul web, una crescita lineare, senza però osservare, a meno che non intendesse questo parlando di linearità e progressività, che quella crescita lineare era governata da pendenze che in due mesi avevano registrato un tremendo cambiamento.
Il 15 ottobre il coefficiente della pendenza (che rappresenta sostanzialmente la media giornaliera dei casi) era 2595, il 17 novembre era aumentato a 7562, il 22 novembre a 9074, e il 13 dicembre a 18.357. Se si fosse mantenuta la crescita lineare dei giorni tra il 5 ottobre e il 14 ottobre, il 13 dicembre il totale accumulato dei casi di contagio sarebbe stato approssimativamente 4.860.000, quasi mezzo milione meno dei 523.8000, valore osservato quel giorno di casi accumulati.
Ulteriore evidenza del fatto che i contagi stanno aumentando esponenzialmente, anche se richiede una maggiore conoscenza della statistica, verrebbe dal confronto della bontà di un modello lineare con quella di un modello esponenziale. In tali confronti, eseguibili con programmi disponibili in EXCEL, un ruolo importante è giocato da un parametro, R2. Quanto più R2 si avvicina al valore 1, tanto migliora la qualità della rappresentazione matematica dei dati.
In analisi di questo tipo è opportuno neutralizzare in qualche maniera le fluttuazioni giornaliere dei dati, che, per esempio, notoriamente presentano meno contagi nell’annuncio del lunedì, e una tecnica conveniente per farlo è raggruppare i contagi di tre giorni consecutivi.
L’analisi dei dati così raggruppati, relativi alle ultime sei, cinque, quattro, tre e due settimane, eseguita confrontando un modello lineare e uno esponenziale della crescita dei contagi, si orienta decisamente in favore del modello esponenziale. A partire da tre settimane il valor di R2 nei modelli di crescita esponenziale è maggiore che nei modelli lineari di circa 0.05-0.06, quantità importante in questo genere di confronti, mentre su due settimane lo è di solamente 0.0164, il che per altro era prevedibile, per quanto abbiamo detto sopra circa la indistinguibilità dei due modelli su periodi corti.
In una delle interviste cui facevamo riferimento il professore Pregliasco prevedeva 30.000 casi per Natale. Non è sorprendente che questa soglia sia stata già raggiunta e superata il 21, con margine per ulteriori aumenti. Infatti se si estrapola la previsione per Natale e Capodanno a partire dei dati degli ultimi due mesi e anche di un mese, effettivamente si prevedrebbero per Natale circa 30.000 casi giornalieri e per Capodanno circa 35.000, ma sulla base dei dati delle ultime tre settimane queste previsioni si modificherebbero in 32.000 e 40.000 e, addirittura, in base a quelli delle ultime due settimane, aumenterebbero ulteriormente a 38.000 e 50.000.
È opportuno chiarire che queste previsioni possono non fornire un panorama corretto di come sarà la situazione a Natale e Capodanno, e siano purtroppo ottimiste e questo per due ordini di motivi.
Il primo è l’osservazione che l’ipotesi di comportamento esponenziale della crescita del numero dei contagi si rappresenta nella forma emx. Ebbene il coefficiente m mostra una tendenza a crescere quando l’analisi si limita a dati più recenti. Esso vale 0.091 se si usano i dati dell’ultimo mese, ma cresce fino a 0.12 (analisi dei dati delle ultime tre settimane) e 0.17 (analisi di quelli delle ultime due).
È in certo senso una situazione análoga a quella descrita nella figura, cambiando le rette per esponenziali. Su periodi corti, i dati sono riprodotti da esponenziali, ma questa rappresentazione è inadeguata su periodi lunghi, per rappresentare lo sviluppo del contagio. Il fatto che l’esponenta vada aumentando indica che la velocità di diffusione del contagio aumenta. È evidente che se questa tendenza fosse confermata nei prossimi giorni, l’effetto, soprattutto a Capodanno, potrebbe essere importante.
A questo è da aggiungere un’ulteriore considerazione. I risultati ottenuti si basano sull’estrapolazione dei dati delle ultime settimane. Forse giova ricordare un elemento alla base di qualsiasi analisi di questo genere. Si assume che le condizioni in cui si sono raccolti i dati usati non varino nel periodo successivo. Se dovessero esserci cambiamenti nei comportamenti, feste con partecipazione numerosa, rilassamento delle precauzioni usuali, tutti fattori che favoriscono una maggiore diffusione del virus, questi risultati forniscono unicamente un limite inferiore di quello che ci si può attendere.